La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto.
Tangente de beta Recta tangente a una curva en un punto
La recta tangente a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).
Ecuación de la recta tangente
Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 − 5x + 6 paralela a la recta 3x + y − 2 = 0.
Sea el punto de tangencia (a, f(a))
m = −3
f'(a) = 2a − 5
2a − 5 = −3a = 1
P(1, 2)
y − 2= −3 (x − 1)y = −3x + 5
Pendiente de la recta normal
Pendiente de la recta normal
La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.
Pendiente de la recta normal
Es decir, es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.
Tangente de beta Recta normal a una curva en un punto
La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f'(a).
Ecuación normal
Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x2 + x + 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
Sea el punto de tangencia (a, b)
m = 1
f'(a) = 2a + 12a + 1 = 1 a = 0
Punto de tangencia:(0, 1)
Recta tangente:
y − 1 = x y = x +1
Recta normal:
m= 1P(0, 1)
y − 1 = −x y = −x + 1
Punto Crítico, Máximo, Mínimo y de Inflexión
El punto crítico se ubica en el punto tangencial de una recta horizontal, la cual tiene pendiente igual a cero. Por punto crítico se entiende: un punto singular, un punto donde no exista la derivada o un punto extremo a ó b del dominio [a,b] de definición de la función.
Si la segunda derivada es positiva en un punto crítico, se dice que el punto es un mínimo local; si es negativa, se dice que el punto es un máximo local; si vale cero, puede ser tanto un mínimo, como un máximo o un punto de inflexión. Derivar y resolver en los puntos críticos es a menudo una forma simple de encontrar máximos y mínimos locales, que pueden ser empleados en optimización. Aunque nunca hay que despreciar los extremos en dichos problemas
La derivada es el límite del cociente del incremento de la variable dependiente entre el incremento de la variable independiente, cuando este tiende a cero, lím∆y
∆x→0∆x
Al proceso para encontrar la derivada se le llama: diferenciación.
La definición de la derivada en términos de límites se emplea para demostrar las reglas de diferenciación.
Reglas básicas
1. Para una constante “a”
Si f(x)=a, su derivada es f´(x)=0
Ejemplo: f(x)=16
f´(x)=0
2. Para la función identidad f(x)=x
Si f(x)=x, su derivada es f´(x)=1
Ejemplo: f(x)=x
f´(x)=1
3.Para una constante “a” por una variable “x”
Si f(x)=ax, su derivada es f´(x)=a
Ejemplo: f(x)=7x
f´(x)=7
4. Para una variable “x” elevada a una potencia “n”
Si f(x)=xⁿ, su derivada es f´(x)=nxⁿˉ¹
Ejemplo: f(x)=x³
f´(x)=3x²
5. Para una constante “a” por una variable “x”elevada a una potencia “n”
Si f(x)=axⁿ,su derivada es f´(x)= anxⁿˉ¹
Ejemplos: f(x)=4x²
f´(x)=8x
6. Para una suma de funciones
Si f(x)=u(x)+v(x), su derivada es f´(x)=u´(x)+v´(x)
Ejemplo: f(x)=3x²+4x
f´(x)=6x+4
7. Regla del producto
8. Regla del cociente
9. Regla de cadena
Regla de la derivadadel producto
Se aplica a funciones formadas por la multiplicación de polinomios y la formula a aplicar es:
f´(x)=u´v+uv´
Ejemplo:
f(x)= (2x³+3) (3x4-5)
u´=6x2v´=12x³
f(x)= (6x2) (3x4-5)+(2x³+3)(12x³)
f(x)=18x6-30x2 +24x6 +36x³
f(x)=42x6 +36x³-30x2
Nota:
*Al multiplicar cada elemento los exponentes se suman.
*Al juntar términos semejantes los exponentes quedan igual.
Regla de la derivadadel cociente
Esta regla se aplica a la división de polinomios f(x)=u/v
y se aplica la formula:
f´(x)=u´v-uv´
v2
Ejemplo:
f(x)=2xu´=2
x+2v´=1
f´(x)=2(x+2) – 2x (1)
(x+2)2
f´(x)=2x+4-2x
(x+2)2
f´(x)=4_
(x+2)2
Nota:
*El denominador no se modifica.
Regla de la derivadade la cadena
Este proceso se aplica a la función formada por un polinomio elevado a una potencia, en base a la formula:
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