La Derivada

“Definición de Derivada”

La derivada es el límite del cociente del incremento de la variable dependiente entre el incremento de la variable independiente, cuando este tiende a cero, lím ∆y

∆x→0 ∆x

Al proceso para encontrar la derivada se le llama: diferenciación.

La definición de la derivada en términos de límites se emplea para demostrar las reglas de diferenciación.

Reglas básicas

1. Para una constante “a”

Si f(x)=a, su derivada es f´(x)=0

Ejemplo: f(x)=16

f´(x)=0

2. Para la función identidad f(x)=x

Si f(x)=x, su derivada es f´(x)=1

Ejemplo: f(x)=x

f´(x)=1

3. Para una constante “a” por una variable “x”

Si f(x)=ax, su derivada es f´(x)=a

Ejemplo: f(x)=7x

f´(x)=7

4. Para una variable “x” elevada a una potencia “n”

Si f(x)=xⁿ, su derivada es f´(x)=nxⁿˉ¹

Ejemplo: f(x)=x³

f´(x)=3x²

5. Para una constante “a” por una variable “x”elevada a una potencia “n”

Si f(x)=axⁿ,su derivada es f´(x)= anxⁿˉ¹

Ejemplos: f(x)=4x²

f´(x)=8x

6. Para una suma de funciones

Si f(x)=u(x)+v(x), su derivada es f´(x)=u´(x)+v´(x)

Ejemplo: f(x)=3x²+4x

f´(x)=6x+4

7. Regla del producto

8. Regla del cociente

9. Regla de cadena

Regla de la derivada del producto

Se aplica a funciones formadas por la multiplicación de polinomios y la formula a aplicar es:

f´(x)=u´v+uv´

Ejemplo:

f(x)= (2x³+3) (3x⁴-5)

u´=6x² v´=12x³

f(x)= (6x²) (3x⁴-5)+(2x³+3)(12x³)

f(x)=18x⁶-30x² +24x⁶ +36x³

f(x)=42x⁶ +36x³-30x²

Nota:

*Al multiplicar cada elemento los exponentes se suman.

*Al juntar términos semejantes los exponentes quedan igual.

Regla de la derivada del cociente

Esta regla se aplica a la división de polinomios f(x)=u/v

y se aplica la formula:

f´(x)=u´v-uv´

v²

Ejemplo:

f(x)=2x u´=2

x+2 v´=1

f´(x)=2(x+2) – 2x (1)

(x+2)²

f´(x)=2x+4-2x

(x+2)²

f´(x)= 4_

(x+2)²

Nota:

*El denominador no se modifica.

Regla de la derivada de la cadena

Este proceso se aplica a la función formada por un polinomio elevado a una potencia, en base a la formula:

f´(x)=n (u)^n-1 (u´)

Ejemplo:

f(x)= (2x³+3)^5-1 u´=6x²

f´(x)=5(2x³+3) ⁴ (6x²)

f´(x)=5(6x²) (2x³+3) ⁴

f´(x)=30x² (2x³+3) ⁴